微分几何讲义 第二版 王幼宁

微分几何讲义 第二版 王幼宁

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概述

《微分几何讲义（第二版）》是王幼宁教授主编、刘继志教授参编的一部系统性微分几何教材，适用于高年级本科生及研究生，也可供数学、物理及相关领域研究人员参考📖。本书由北京师范大学出版社于2011年7月1日出版发行，全书共267页，ISBN为978-7-303-12882-2，定价162元。新版在保留第一版严谨结构与逻辑的基础上，充分吸纳近年研究成果与教材反馈，增强了例题、习题的针对性和深度👨‍🏫。

作者简介

王幼宁教授，现任北京师范大学数学科学学院教授，以黎曼几何与图论研究见长，在国内外重要期刊发表多篇高水平论文✍️。刘继志教授长期从事微分几何教学与科研，曾主讲多届“新世纪高等学校规划教材”系列课程，教学风格深入浅出、条理清晰🎓。两位作者紧密结合教学实践与科研前沿，为本书奠定了坚实的理论和应用基础。

内容结构

第一章 预备知识

  1. 「向量代数复习」：包括笛卡尔坐标系、向量空间及其内积等基础内容，帮助读者快速回顾E³空间常用运算🔢。
  2. 「向量函数微积分」：介绍向量函数的极限、连续性与微分计算，为后续曲线与曲面的研究奠定分析工具🧮。
  3. 「标架与标架场」：定义正交标架及其运动方程，并讨论仿射标架在几何中的应用🌐。

第二章 曲线的局部微分几何

  1. 「参数化曲线与等价」：严格定义正则曲线，讨论参数变换下的等价性🔄。
  2. 「曲率与挠率」：推导Frenet标架及其基本公式，分析曲线在空间中的局部形态📐。
  3. 「曲线论基本定理」：包括平面曲线的曲率定理与空间曲线的局部唯一性等重要结论📏。

第三章 曲面的第一基本形式

  1. 「参数化曲面与切平面」：定义正则曲面及其法向量，介绍参数变换规则🌊。
  2. 「第一基本形式」：从内蕴角度构造曲面弧长与面积元素，讨论局部等距对应✨。

第四章 曲面的第二基本形式与曲率

  1. 「第二基本形式」：定义有向距离、Weingarten变换矩阵及其性质🔍。
  2. 「Gauss曲率与主曲率」：从Weingarten矩阵特征值出发，引出Gauss–Bonnet定理等核心结果🌟。

第五章 曲面论基本定理

  1. 「Gauss–Codazzi方程」：详细推导Gauss–Codazzi兼容性条件，并讨论其独立性和几何意义📚。
  2. 「曲面论基本定理」：给出内蕴与外蕴数据唯一决定曲面的定理证明与应用实例🔬。

第六章 曲面的内蕴几何初步

  1. 「测地线与指数映射」：引入测地曲率、Liouville公式以及指数映射的构造与性质🗺️。
  2. 「常曲率曲面与非欧模型」：阐述常曲率曲面局部等距对应，链接双曲与椭圆几何模型🌌。

特色分析

  1. 「严谨的理论推导」：本书在每个定理的陈述与证明过程中，保持了高度的逻辑严密性，既关注证明细节，又兼顾直观几何理解🎯([Hanspub][3])。
  2. 「丰富的例题与习题」：每章末尾配备了多层次、覆盖不同难度的习题，帮助读者巩固概念，提升解题能力💡。
  3. 「图文并茂的几何示意」：针对复杂概念配有精准图示，配合文字说明提升阅读体验和理解效果🖼️。
  4. 「贴近科研前沿」：第二版新增了部分与现代微分几何研究相关的内容，使教材具有一定的科研参考价值🔬。

学习建议

  • 「夯实预备知识」：在正式学习曲线与曲面理论前，务必熟练掌握向量代数和微积分基础，否则后续理解会有障碍📘。
  • 「动手做习题」：结合书后习题，将理论与实践结合，遇到困难时可参考教师讲义或相关文献🔍。
  • 「阅读原著与综述」：在自学过程中，可查阅李群与流形、Riemann几何等经典教材，拓宽知识视野🌐。
  • 「讨论与汇报」：鼓励同学之间组建学习小组，通过研讨和报告深化对微分几何核心概念的理解👥。

总结

《微分几何讲义（第二版）》以其严谨的结构、丰富的内容和贴合教学与科研双重需求的特色，已成为国内微分几何领域的重要教材之一。不论是初次接触微分几何的学生，还是从事相关研究的学者，均能在本书中找到系统而深入的指导。让我们一起翻开这本精彩的教材，在曲线与曲面的世界中畅游🔬✨。

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