无限维拓扑学引论 杨寒彪 第一版

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概述

《无限维拓扑学引论》是杨寒彪教授于2019年在成都西南交大出版社有限公司出版的拓扑学专著，旨在为高等院校数学及相关专业的硕士和博士研究生提供一部系统而深入的教材与参考书 🎓📘。全书从公理集合论出发，依次深入探讨度量空间的拓扑学性质及其连通性，最终聚焦于无限维拓扑学的核心问题，特别是Z-集理论与著名的Anderson定理，为读者呈现了当前国内外前沿研究的思路与方法。本帖将从作者与版本、内容结构、学术特色、适用对象及学习建议等方面进行全面介绍，帮助同学和研究者快速把握本书精髓并规划学习路径 ✨🔍。

作者与版本信息

  • 「书名」：《无限维拓扑学引论》
  • 「作者」：杨寒彪 著
  • 「出版社」：成都西南交大出版社有限公司
  • 「出版日期」：2019年
  • 「版本」：第一版
  • 「ISBN」：9787564370688
  • 「学科分类」：科学类·理学院·数学专业

内容结构

第一章：公理集合论简述 🧮

  • 「集合论公理」：涵盖ZFC公理体系及其公理化表述。
  • 「集合上的特殊关系」：偏序、等价关系等。
  • 「序数与基数」：从序数到基数的概念过渡。
  • 「选择公理」：选择公理及其在拓扑学中的作用。

第二章：度量空间基础 📐

  • 「度量空间定义及例子」：包括常见欧氏空间与非欧度量空间示例。
  • 「开集、闭集、基与序列」：度量拓扑的基本语言。
  • 「连续映射与同胚」：拓扑等价的判定方法。
  • 「一致连续、等距映射」：从点到整体的映射性质。
  • 「Urysohn引理与Tietze扩张定理」：赋予度量空间丰富的函数理论。

第三章：度量空间的连通性 🔗

  • 「连通空间」：连通性定义与判别方法。
  • 「连通分支与局部连通」：结构分解与局部性质研究。
  • 「道路连通」：路径连通与广义连通性的关系。

第四章：无限维拓扑学引论 🌐

  • 「构造同胚的三种方法」：教授读者如何在无限维空间中实现同胚构造。
  • 「Z-集及其同胚扩张定理 I、II」：深入探讨Z-集的性质及应用。
  • 「吸收子」：无限维情况下的吸收结构与示例分析。
  • 「Anderson定理」：首次系统地在国内中文专著中阐述此定理及其重要应用。

学术特色

  1. 「聚焦无限维」：与国内一般点集拓扑学教材不同，本书将研究重点放在度量空间与无限维拓扑学上，契合拓扑学在代数、几何、分析等领域中的应用需求 🔬💡。
  2. 「首现Anderson定理」：系统讲解Anderson定理及同胚扩张技巧，为国内相关研究提供了重要参考。
  3. 「理论与方法并重」：既有严谨的公理化论证，也穿插多种构造性方法，帮助读者在理解理论的同时掌握实用工具。
  4. 「跨学科应用视角」：书中不断提示无限维拓扑学在分析学、几何学、数理逻辑等领域的潜在交叉点，为后续研究提供了丰富思路。

适用对象

  • 拓扑学及相关领域的硕士研究生和博士研究生 🎓。
  • 希望深入学习度量空间与无限维拓扑学理论的科研人员。
  • 对拓扑学在高维与应用问题中有兴趣的教师与工程技术人员。

学习建议

  1. 「打好基础」：阅读第一章集合论内容，确保熟练掌握集合、序数与基数概念。
  2. 「循序渐进」：在第二、三章中巩固度量空间与连通性知识，为第四章的无限维理论铺平道路。
  3. 「结合实例」：尝试自己构造简单的Z-集示例，深入理解同胚扩张定理的证明思路。
  4. 「开展讨论」：在学习过程中，多与同学和导师交流对Anderson定理及其应用的理解，形成批判性思考。

结语

《无限维拓扑学引论》凭借其系统性与创新性，填补了国内在无限维拓扑学领域的空白，是一本难得的高质量专业著作 📖✨。无论是作为教材还是研究参考，都能为读者提供坚实的理论支持与方法工具，助力相关领域的深入探索。期待同学和研究者在本书的引领下，开启一段充满挑战与收获的拓扑学之旅！

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