工程数学 复变函数,矢量分析与场论,数学物理方法 田玉,郭玉翠

书籍简介与定位 📘

《工程数学：复变函数、矢量分析与场论、数学物理方法》是田玉、郭玉翠二位作者编写的一本工程数学教材，由清华大学出版社于 「2018 年 9 月」 出版。 本书将复变函数、矢量分析与场论、数学物理方法三大内容合为一体，旨在为工科或理科但非数学专业的本科生提供系统而深入的工程数学训练与理论基础。

内容结构与特色

本书主要分为三篇内容，每篇涵盖多个章节，每章内含理论、方法、例题与习题，并穿插应用背景。

第一篇：复变函数

• 基本概念包括复数与复变函数、复变函数的极限与连续性、复球面与无穷远点。
• 然后导入解析函数（derivatives & differentials）、柯西-黎曼条件等基本性质。
• 幂级数（Taylor、Laurent 展开）、孤立奇点、留数定理及其应用是非常重要的一部分，对计算复杂积分和处理物理中常见积分有直接帮助。

第二篇：矢量分析与场论

• 本章从矢量函数及其导数与积分起步，讲解梯度 (gradient)、散度 (divergence)、旋度 (curl) 等算子，并在正交曲线坐标系中给出它们的具体表达式（比如在柱坐标、球坐标等）。
• 涉及拉普拉斯算符（Laplacian）、格林公式及格林第二公式，以及算子方程等内容，这些都是物理场论、工程、边值问题中不可或缺的工具。

第三篇：数学物理方法

这一篇是理论与应用结合最紧密的部分，内容非常丰富，包括：

• 各类数学物理方程（波动方程、热传导方程、Laplace／泊松方程、亥姆霍兹方程等）的导出与定解问题的设定。
• 解这些定解问题的方法：分离变量法、幂级数解法、Sturm‐Liouville 本征值问题、特殊函数（如贝塞尔函数、勒让德函数）的定义、性质及应用。
• 更进阶些：行波法、积分变换法（如傅里叶变换、拉普拉斯变换等）、格林函数法。

学术价值与用途

从专业教授／研究者的角度看，这本书具有以下价值：

1. 「理论与应用并重」 本书不仅讲述抽象理论（例如复变函数的解析性、幂级数展开、特殊函数的正交性等），也非常注重工程 / 物理中的实际问题如何利用这些工具求解定解问题、边界条件、初值问题等。对物理学、工程学、应用数学等交叉学科尤其有帮助。

2. 「作为桥梁教材」 它适合非数学专业但需要深厚数学基础的学生，比如电气工程、机械工程、物理工程等专业的本科三、四年级，甚至研究生初期；也可作为研究生课题中需要用到数学物理方法或场论背景的入门读物。

3. 「结合计算工具的辅助」 本书在讲解中提及借助 Maple 等软件来辅助繁琐的计算与推导过程，这点对现代教学非常重要，有助于学生集中精力理解方法与思想，而不被长篇计算细节拖累。

4. 「内容的完整性与系统性」 将复变函数、矢量分析与场论、数学物理方法三部分编排在一起，既有内在连贯性，也避免学生在不同教材间跳跃。比如复变函数中留数定理的积分应用与数学物理中积分变换法、格林函数法等工具交互使用时，更显一体化优势。

读者建议与学习策略 🎯

对于想利用这本书取得最佳效果的读者，我建议如下策略：

• 「基础打牢」：在学习复变函数之前，应熟悉实变函数、微积分、多元函数与偏导数等知识；矢量分析部分需要熟练掌握向量代数以及偏微分算子。

• 「注重习题练习」：本书章节后习题较多，涵盖理论验证、计算题、应用题。通过习题可以巩固幂级数展开、边值问题、特殊函数性质等。

• 「交叉阅读／对比」：若已有经典教材如 Churchill & Brown（Complex Variables and Applications）、Arfken & Weber（Mathematical Methods for Physicists）等，可将本书与这些英文教材对照读，以增强理解深度与国际视野。

• 「软件辅助」：用 Maple 或 Mathematica 去验证推导、计算积分、可视化解析函数或解偏微分方程，有助于理解公式背后的几何或物理含义。

• 「课题或研究应用」：如果你从事热传导、波动、电磁场、流体力学或量子力学等方向的研究，这本书的数学物理方法部分（特殊函数、本征值问题、定解问题）几乎是工具箱中的必备内容。可以在研究中直接应用。

总结评价

总的来说，这本书是一本兼具深度与广度的工程数学教材，非常适合如下对象：

• 工程／理科本科生，特别是非数学专业但需要应用数学物理和场论工具的学生；
• 研究生在需要数学物理或复杂变量背景支撑的课程或课题中；
• 教师用作课程教材或者参考书，以便将现代软件与经典理论结合起来教学。

优点包括内容系统、理论与应用结合、习题丰富、辅助软件提示；可能的挑战在于对于基础薄弱者来说某些章节（如本征值问题、特殊函数性质、积分变换的应用）具有一定难度，需要额外投入时间。

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工程数学 复变函数,矢量分析与场论,数学物理方法

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